Recherche de racine de 2 par balayage

Le nombre \(\sqrt{2}\) est le nombre réel positif tel que \(x^2=2\), ce qui équivaut à \(x^2−2=0\).
Nous savons que `\sqrt{2}` est un nombre compris entre 1 et 2.
Nous voulons trouver une valeur approchée de \(\sqrt{2}\).

Pour cela, nous allons procéder par balayage : la méthode par balayage est une technique utilisée en mathématiques pour trouver une solution approchée à un problème ; elle consiste à explorer les possibilités dans un intervalle donné jusqu'à ce que l'on trouve une solution avec la précision souhaitée.

Dans le cas de la recherche d'une valeur approchée de `\sqrt{2}`, la méthode par balayage peut consister à tester différentes valeurs de \(x\) dans l'intervalle [1, 2] jusqu'à ce que l'on trouve une valeur qui satisfait l'équation `x^2 - 2 = 0` avec une précision suffisante.

Voici le programme Python utilisé :

def f(x):
        return x**2-2

def balayage (n) :
        """ Renvoie un encadrement de la solution f(x)=0 avec une largeur de 10**-n"""
        pas = 10**-n
        x = 1
        while  f(x) <0:
             x = x + pas

       x_mini = x - pas
       x_maxi = x
       return (round(x_mini, n), round(x_maxi, n))

1. On veut obtenir un encadrement à \(10^{-3}\) près de \(\sqrt{2}\). Tester le programme. Quel est l'encadrement obtenu ?

2. On veut obtenir un encadrement à \(10^{-5}\) près de \(\sqrt{2}\) . Tester le programme. Quel est l'encadrement obtenu ?